Penrose abstract index notation

Todo esto está en [Malament 2012]

Sea $V$ un espacio vectorial y $V^a, V^b, \ldots$ una colección indeterminada de espacios isomorfos a $V$ con isomorfismos concretados. Sea $V^*$ su dual, y $V_a, V_b, \ldots$ una colección análoga a la anterior pero para $V^*$. Ojo, $a,b,c,\ldots$ no son números, sino etiquetas.

En lo que sigue, $v^a$ será un elemento de $V^a$, para cualquier índice $a$, y $v_a$ lo será de $V_a$. Además, el isomorfismo concretado entre $V^a$ y $V^b$ enviará $v^a$ a $v^b$ (análogamente para los duales).

Vamos a definir una familia de espacios vectoriales $V^{abc\ldots}_{xyz\ldots}$ y una serie de operaciones con ellos. Pero lo haremos con un ejemplo concreto: $V_c^{ab}$ para mayor simplicidad (es fácil generalizarlo luego).

El espacio $V_c^{ab}$ está definido como el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales que envían ternas no ordenadas $\{u_a,u_b,u^c\}$ a $\mathbb{R}$. Coinciden con los tensores de $V$ de tipo $(2,1)$ de la sección tensoreslineales (anotaciones Latex antiguas, pasar a obsidian).

¿Qué forma tienen los elementos de $V_c^{ab}$?

Son aplicaciones lineales $T(-_a,-_b,-^c)$. Dados $\psi^a \in V^a, \varphi^b \in V^b, \phi_c \in V_c$, determinan un elemento de $V_c^{ab}$ denotado $\psi^a\varphi^b\phi_c$ de la siguiente forma:

cantidad que será denotada indistintamente por

Es decir, obviaremos los paréntesis y permitiremos cualquier conmutatividad entre los elementos de los espacios vectoriales implicados.

¿Hay más elementos en $V_c^{ab}$?

Sí. Denotemos por $\{\stackrel{_1}{\xi^a}, \stackrel{_2}{\xi^a},\cdots \}$ una base de $V^a$ y $\{\stackrel{_1}{\alpha_a}, \stackrel{_2}{\alpha_a},\cdots \}$ su correspondiente base dual en $V_a$ para cada $a$. Entonces las ternas $\stackrel{_i}{\xi^a}\stackrel{_j}{\xi^b}\stackrel{_k}{\alpha_c}$ forman una base de $V_c^{ab}$. Es decir, cualquier $\lambda_c^{ab} \in V_c^{ab}$ es

Observaciones:

• Aunque la notación es conmutativa en cuanto a los "elementos" no lo es en cuanto a los índices. Se ve fácilmente que $\lambda_{ab}$ no es lo mismo que $\lambda_{ba}$ si las expresamos en la base. Ambas son aplicaciones lineales sobre parejas no ordenadas de elementos de $V_a$ y $V_b$ pero no producen la misma respuesta.

• Multiplicación. Podemos multiplicar tensores teniendo en cuenta que, para la coherencia en la notación, todo se deja indicado excepto si aparecen, en cualquier posición, un vector y un covector del mismo $a$, en cuyo caso se transforman en un número real. El orden no importa.

• Sustituir índices. Los índices son puramente símbolos, sólo importa el lugar que ocupen. Se puede formalizar esto (ver \cite{malament} página 29).

• Contracción. Dado un tensor, WLOG, $\lambda_{abc}^{def} \in V_{abc}^{def}$, podemos construir otro como por ejemplo $\lambda_{abc}^{aef} \in V_{bc}^{ef}$ usando el isomorfismo que vincula $V^d$ y $V^a$.

• Lo del $\delta_a^b$

• Simetrización y antisimetrización.

En resumen, la clave está en usar unas etiquetas (los índices abstractos) para señalar qué vector se aplica a qué 1-forma, o para que una operación se deje sin hacer. Por ejemplo: $\alpha_a v^a$ es un número real, pero $\alpha_a v^b$ es una aplicación lineal.

Se complementa muy bien con la Penrose diagramatic notation.

Kepp an eye:

In the absence of derivatives this is nearly identical to Einstein index notation, but distinctions between the two notational systems become more apparent in the presence of covariant derivatives ($\nabla_\alpha$ in Penrose notation, or a combination of $\partial_i$ and Christoffel symbols in Einstein notation)

See this MathOverflow answer the Terence Tao.

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Author of the notes: Antonio J. Pan-Collantes

antonio.pan@uca.es